Coins-in-a-jar probleem
Sunday, December 30th, 2007Niks zo mooi als een stukje simpele wiskunde dat werkt, in de echte wereld.
Ik zit al sinds ik naar de US ben verhuisd mijn overtollige muntstukken kleingeld op te sparen in een bokaal - in feite twee bokalen. Die zijn ondertussen beiden vol gesukkeld en ik had mij voorgenomen er voor het nieuwe jaar eindelijk vanaf te geraken. Ik was benieuwd hoeveel het mij zou opleveren, maar uiteraard was er geen sprake van dat ik de munten zou beginnen tellen. En hier komt het eerder vermelde stukje wiskunde / statistiek kijken. Het is zo’n typisch onnozel vraagstuk dat ze op sommige job interviews wel eens durven vragen: hoe kan de waarde van de inhoud van die bokaal geschat worden zonder de munten te tellen?
Amerikaanse munten zijn ofwel quarters (25 cent), dimes (10 cent), nickels (5 cent) of pennies (1 cent).
In mijn bokalen zitten geen quarters want die hou ik apart voor de wasautomaat (hield ik apart, want sinds kortleden heb ik mijn eigen wasmachien).
Twee simpele veronderstellingen: bij transacties zijn alle mogelijke prijzen (in cent) even waarschijnlijk, en bij het teruggeven van wisselgeld wordt de minimale hoeveelheid munten uitgereikt. Dat is allemaal vrij redelijk, er zijn natuurlijk gevallen waar dat het niet zal opgaan (bv als een kassier geen type munt meer in voorraad zou hebben), maar laat ons dat als anomalieen beschouwen en verder negeren.
We gaan natuurlijk wegen: de inhoud van bokaal #1 weegt 4.53kg, die van bokaal #2 4.06kg. Ongeveer hetzelfde (binnen ~10%, voor een ingenieur is dat dus hetzelfde ;)), dus dat bevestigt dat onze hypothesen plausibel zijn.
Bij betalingen heb ik dus 25 mogelijkheden (nul tot en met 24 cent wisselgeld). Ik negeer quarters want die heb ik niet. Dit zijn alle combinaties:
- 0 1 2 dimes
- 0 1 0 1 0 nickels
- 01234 01234 01234 01234 01234 pennies
(btw, dit zou een tabel moeten zijn maar mijn editor draaide die in de soep - gebruik uw verbeelding)
Alle mogelijkheden zijn even waarschijnlijk, dus we kunnen gewoon alle munten die in deze 25 combinaties voorkomen gaan tellen per type, het boeltje delen door 25, en zo krijgen we de verwachte waarde van het aantal munten van elk type tijdens een willekeurige transactie. We hebben 50 pennies, 10 nickels en 15 dimes. Delen door 25 en we krijgen gemiddeld 2 pennies, 0.4 nickel en 0.8 dime.
Nu het gewicht van de individuele muntjes opgoegelen: penny=2.5g, nickel=5g, dime=2.268g.
Om het aantal muntjes van elk type dat voorkomt in mijn bokalen te schatten lossen we gewoon volgende vergelijkingen op:
Totaal gewicht (bv. 4530g) = x*2.5 + y*5 + z*2.268
x/y = 2/0.4
y/z = 0.4/0.8
Los op en bereken dan:
verwachte waarde bokaal (in $) = (x + y*5 + z*10)/100
Resultaat: waarde is $62.
Ik ben vervolgens snel naar Safeway gelopen, alwaar ze zo’n machien hebben staan dat automatisch alle munten opslokt, sorteert en telt, waarna ge uw geld aan de kassa kunt gaan afhalen. Het resultaat voor mijn 4.53kg bokaal was: $59!
Mooimooi! U ziet: statistiek, mits correct bedreven, is wel degelijk te geloven. Minder mooi was dat het machien 9% commissie afhield…
